উপপাদ্য সৃজনশীল : ব্যবহারিক জ্যামিতি

হায় শিক্ষার্থী বন্ধুরা, 

SSC পরীক্ষায় সৃজনশীল অংশে জ্যামিতির অংশে তিনটি প্রশ্ন থাকে । যার মধ্যে একটি হলো সম্পাদ্য অংশ থেকে আর দুইটি প্রশ্ন উপপাদ্য থেকে । যার থেকে দুটি প্রশ্নের উত্তর করা বাধ্যতামূলক । পরীক্ষায় ভালো করার জন্য জ্যামিতির বিকল্প নেই । তাই তোমাদের জন্য আজ জ্যামিতির উপপাদ্য অংশ থেকে SSC পরীক্ষাসহ স্কুলের বিভিন্ন পরীক্ষায় ১০০% কমনের নিশ্চয়তা নিয়ে নিচে সৃজনশীল গুলো দেওয়া হলো । এছাড়াও এই আর্টিকেলে  জ্যামিতি কাকে বলে , উপপাদ্য কাকে বলে ,  উপপাদ্য প্রমাণের পদ্ধতি , উপপাদ্য লেখার নিয়ম ইত্যাদি সম্পর্কে সংক্ষিপ্ত আলোচনা করা হয়েছে । যা জানা প্রত্যেকের জন্য জরুরী । এছাড়াও অফলাইনে অনুশীলন করার জন্য  উপপাদ্য সৃজনশীল : ব্যবহারিক জ্যামিতি  PDF এবং ছবি দেওয়া আছে চাইলে তোমরা সেগুলো ডাউনলোড করে অফলাইনে অনুশীলন করতে পারবে ।


উপপাদ্য
 উপপাদ্য

জ্যামিতি কাকে বলে

জ্যামিতি শব্দটির ইংরেজী Geometry । Geometry শব্দটি গ্রীক geo - ভূমি (earth) ও metron - পরিমাপ (measure ) শব্দের সমন্বয়ে তৈরি । তাই বলা যায় জ্যামিতি শব্দের অর্থ ভূমির পরিমাপ । জ্যামিতি শব্দের শাব্দিক অর্থ ভূমির পরিমাপ হলেও আধুনিক  জ্যামিতি শুধু ভূমির পরিমাপের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয় । আধুনিক সংজ্ঞানুযায়ী বলা যায় গণিতের যে শাখায় বিভিন্ন আকার আকৃতির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক ও তাদের জগতের বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করা হয় তাকে জ্যামিতি বলে । 

আনুমানিক খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ অব্দে গ্রিক পন্ডিত ইউক্লিড জ্যামিতির ইতস্তত বিক্ষিপ্ত সূত্রগুলোকে বিধিবদ্ধভাবে সুবিন্যস্ত করে তার বিখ্যাত গ্রন্থ 'Elements' রচনা করেন । তেরো খন্ডে রচিত এই কাল উত্তীর্ণ গ্রন্থটিকে আধুনিক জ্যামিতির ভিত্তি বলা হয় ।

উপপাদ্য কাকে বলে ?

উপপাদ্য এর ইংরেজী প্রতিশব্দ Theorem । উপপাদ্য অর্থ যা প্রমাণ করা যায় । উপপাদ্য হলো এক প্রকারের গাণিতিক তত্ত্ব বা প্রস্তাবনা, যা কিছু প্রাথমিক ধারণার ভিত্তিতে প্রমাণ করা যায় । সূত্র উইকিপিডিয়া । যেমন : সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কিত  পিথাগোরাসের উপপাদ্য হলো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান । 

অন্বেষা.নেট এর আরো আয়োজন

নবম - দশম শ্রেণির গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন

সহজে ত্রিকোণমিতির মান মনে রাখার কৌশল

উপপাদ্য প্রমাণের পদ্ধতি

যেকোনো গাণিতিক তত্ত্ব বা প্রস্তাবনা কতিপয় প্রাথমিক ধারণা, সংজ্ঞা এবং স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে যুক্তি বিদ্যার কিছু নিয়ম প্রয়োগ করে ধাপে ধাপে প্রমান করতে হয় । যুক্তি বিদ্যার নিয়মগুলো হলো :

১. আরোহ পদ্ধতি ( Mathematical Induction )

২. অবরোহ পদ্ধতি ( Mathematical Dedution )

৩. বিরোধ পদ্ধতি ( Proof by contradiction )

আরোহ পদ্ধতি

যে পদ্ধতিতে উদাহরণ পর্যবেক্ষণ ও বিশ্লেষণের মাধ্যমে সূত্র বা সংজ্ঞা গঠন করা হয় তা হলো আরোহী পদ্ধতি। জানা থেকে অজানা, মূর্ত থেকে বিমূর্ত, সহজ থেকে কঠিন, বিশেষ থেকে সাধারণ সত্যে উপনীত হওয়া, উদাহরণ থেকে সূত্র গঠন করাকে আরোহী পদ্ধতি বলে । 

অবরোহ পদ্ধতি

অবরোহ পদ্ধতি আরোহ পদ্ধতির বিপরীত । পূর্বে প্রতিষ্ঠিত কোন সত্য থেকে যখন অন্য কোন বিষয় সম্পর্কে ধারনা করা হয় তখন তাকে অবরোহ পদ্ধতি বলে ।

যেমন : 

সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কিত  পিথাগোরাসের উপপাদ্য হলো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান । 

এখন যদি আমরা ধরে নিই সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = AB এবং অপর দুই বাহু হলো AC , BC তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে `AB^2 = AC^2 + BC^2` এখন যেহেতু এটি বিশ্লেষন এবং যুক্তি প্রমাণের মাধ্যমে প্রমাণিত তাই এটি আরোহ  । আর এটি থেকে অন্য যে দুটি স্বীকার্য ‌‌`AC^2=AB^2-BC^2` এবং ‌‌`BC^2=AB^2-AC^2` প্রমাণিত হয় এগুলো হলো অবরোহ ।

আরো জানতে পারো

এসএসসি বীজগণিত অংক সৃজনশীল : অধ্যায় ৩.১ - ৩.৪

বিরোধ পদ্ধতি

দার্শনিক এরিস্টটল যুক্তিমূলক প্রমাণের এ পদ্ধতিটির সূচনা করেন । এ পদ্ধতিটির ভিত্তি হলো একই জিনিসের দুটি পরস্পর বিরোধী গুণ থাকতে পারে না  এবং একই গুণকে একই সময় স্বীকার এবং অস্বীকার করা যায় না ।

অন্বেষা.নেট এর আরো আয়োজন

প্রয়োজনীয় বীজগণিতের সূত্র সমূহ

উপপাদ্যের কয়টি অংশ

একটি উপপাদ্যের ৪ টি অংশ । 

১. সাধারণ নির্বচন : চিত্র নিরপেক্ষ বর্ণনা

২. চিত্র ও বিশেষ নির্বচন : চিত্র নির্ভর বর্ণনা

৩. প্রয়োজনীয় অঙ্কনের বিবরণ

৪. প্রমাণের যৌক্তিক ধাপগুলোর বর্ণনা

উপপাদ্য লেখার নিয়ম

উপপাদ্য লেখতে হলে কতগুলো নিয়ম অনুসরণ করতে হবে

১. উপপাদ্যটির প্রশ্ন ভালো করে বুঝতে হবে ।

২. অবশ্যই  প্রথমে উপপাদ্য সংশ্লিষ্ট একটি চিত্র আঁকতে হবে ।

৩. উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য যুক্তি বিদ্যার নিয়মগুলোর যে কোন একটি প্রয়োগ করতে হবে।

৪. উপপাদ্যের চারটি অংশ বজায় রাখতে হবে ।

৫. আগে সূত্র , ধারণা, সংজ্ঞা বা স্বীকার্য উল্লেখ করতে হবে তারপর চিত্র অনুযায়ী সেটির বর্ণনা দিতে হবে  ।

৬. অবশ্যই উপপাদ্য ধাপে ধাপে প্রমাণ করতে হবে ।

অন্বেষা.নেট এর আরো আয়োজন

 ত্রিকোণমিতি সৃজনশীল প্রশ্ন (৯.১ এবং ৯.২)

উপপাদ্য সৃজনশীল

১. O কেন্দ্র বিশিষ্ট PQR একটি বৃত্ত । PQ বৃত্তটির ব্যাস ভিন্ন জ্যা এবং A , PQ এর মধ্যবিন্দু । O, P ; O , Q এবং O , A যোগ করা হলো 

ক. বৃত্তস্থ কোণের সংজ্ঞা দাও ।

খ. প্রমাণ কর যে , O A , PQ এর উপর লম্ব ।

গ. প্রমাণ কর যে , PQ চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুন ।


২.  O কেন্দ্র বিশিষ্ট ABC বৃত্তে AB ব্যাস ভিন্ন জ্যা ।

ক. চিত্রসহ বৃত্তের সংজ্ঞা দাও ।

খ. OD ,  AB এর উপর লম্ব হলে প্রমাণ কর যে , D বিন্দুটি AB জ্যায়ের মধ্যবিন্দু ।

গ. AB জ্যায়ের সমান আরেকটি জ্যা অঙ্কন করে প্রমাণ কর যে , উভয় জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী ।


৩. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPS + ∠SPR = 90° 

ক. প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির সমষ্টির সমান ।

খ. RT বৃত্তটির একটি উপবৃত্তচাপ হলে প্রমাণ কর যে, ∠QRT > 90° 

গ. প্রমাণ কর যে, Q , O , R একই সরল রেখায় অবস্থিত । 


৪. O কেন্দ্র বিশিষ্ট PQR একটি বৃত্ত ।

ক. বৃত্তটির PQR একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ আঁক ।

খ. বৃত্তটির P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত PT স্পর্শক হলে প্রমাণ কর যে,  PT , OP এর উপর লম্ব । 

গ. যদি উক্ত বৃত্তের বহিঃস্থ M বিন্দু থেকে MPMQ দুটি স্পর্শক আঁকা হয় তবে প্রমাণ কর যে, MP = MQ


৫.  O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ABCD দুইটি জ্যা 

ক. চিত্রসহ প্রবৃদ্ধ কোণের সংজ্ঞা দাও ।

খ. কেন্দ্র O থেকে ABCD দুইটি জ্যা  সমদূরবর্তী হলে প্রমাণ কর যে, AB = CD

গ. যদি জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে কোন বিন্দুতে মিলিত হয় তবে প্রমাণ কর যে , ∠AOC + ∠BOD = 180° 


অন্বেষা.নেট এর আরো আয়োজন

 সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল ( ১৩. ১ ও ১৩.২ )


৬. △ABC

ক. যদি ত্রিভুজটি সমবাহু এবং AD , BC এর উপর লম্ব হয় তবে প্রমাণ কর যে , BD = CD

খ. ত্রিভুজটি সমবাহু এবং AD , BC এর উপর লম্ব হয় তবে দেখাও যে , `3AB^2=4AD^2`

গ. যদি ত্রিভুজটির মধ্যমা AD হয় তবে প্রমাণ কর যে , `AB^2+AC^2=2(BD^2+AD^2)`


৭. ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ । BC এর অতিভুজ  এবং P , BC এর উপর যে কোন একটি বিন্দু এবং PEPD যথাক্রমে AB এবং AC এর উপর লম্ব ।

ক. সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ চিত্রটি আঁক ।

খ. প্রমাণ কর যে , `PB^2=2PE^2`

গ. প্রমাণ কর যে , `PB^2+PC^2=2PA^2`


৮. O কেন্দ্র বিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুটি স্পর্শক ।

ক. △ABC এ ,  C = 90° B = 2A প্রমাণ কর যে , AB = 2BC

খ. প্রমাণ কর যে , OA স্পর্শ বিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব এবং কেন্দ্রগামী ।

গ. প্রমাণ কর যে , PO সরল রেখা ∠APB সমদ্বিখন্ডিত করে ।

অথবা, প্রমাণ কর যে , PO সরল রেখা স্পর্শ জ্যা এর লম্ব দ্বিখন্ডক ।


৯. △ABC এ B = 90°  D অতিভুজ AC এর মধ্য বিন্দু এবং 2A = C

ক. A এর মান কত ?

খ. প্রমাণ কর যে , `BD=\frac1{2}AC`

গ. দেখাও যে , AC = 2BC


১০. △ABC এর ABC > ∠ACB

ক. মধ্যমা কাকে বলে ?

খ. প্রমাণ কর যে , △ABC এর AC AB

গ. △ABC এ A এর সমদ্বিখন্ডক AD , BC কে  D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে , ADC  > 90° 


১১. △ABC এর B ও C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । 

ক. প্রমাণ কর যে , ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর । 

খ. দেখাও যে , BOC = `90^\circ+\frac1{2}\angle A`

গ. যদি ত্রিভুজটির ABAC বাহুকে বর্ধিত করলে BC বিন্দুতে যে বহিঃস্থ কোণ দুটি উৎপন্ন হয় এবং তাদের সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুতে মিলিত হয় তাহলে প্রমাণ কর যে , BOC = `90^\circ-\frac1{2}\angle A`


১২.  △ABC AD = 3 cm একটি মধ্যমা

ক. পূরক কোণের সংজ্ঞা দাও

খ. প্রমাণ কর যে , AB+AC > 2AD

গ. ABAC এর মধ্যবিন্দু EF হয় তবে প্রমাণ কর যে EF ।। BC এবং EF = `\frac1{2}BC`


১৩. PQR সমবাহু ত্রিভুজের PM এবং QN মধ্যমা

ক. প্রমাণ কর যে , PM = QN

খ. প্রমাণ কর যে , PQ+PR > 2PM

গ. যদি `PR^2=PM^2+MR^2` হয় তবে প্রমাণ কর যে , ∠PMR = 90° 


১৪. PQR এর PR = QR , QR  কে M পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো যেন QR  = MR হয় ।

ক. প্রমাণ কর যে , অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 90° 

খ. প্রমাণ কর যে , PQ+PM > 2PR

গ. দেখাও যে , ∠QPM = 90° 


১৫. △ABC একটি ত্রিভুজ

ক. প্রমাণ কর যে , ত্রিভুজের  ৩ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ

খ. যদি AC BC হয় তবে প্রমাণ কর যে , ABC > ∠AC

গ. ত্রিভুজটির অভ্যন্তরঃস্থ কোন বিন্দু D হলে প্রমাণ কর যে , AB+AC > BD+DC


১৬. △PMR এর ∠M= 90°  , PR অতিভুজ 

ক. পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি বিবৃতি কর ।

খ. প্রমাণ কর যে , `PR^2=PM^2+MR^2`

গ. PE , RF ত্রিভুজটির মধ্যমা হলে দেখাও যে , `4(PE^2+RF^2)=5PR^2`


১৭. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে AB , CDEF তিনটি জ্যা । M , NP যথাক্রমে জ্যা ত্রয়ের মধ্যবিন্দু

ক. চিত্রসহ একান্তর কোণের সংজ্ঞা দাও ।

খ. প্রমাণ কর যে , OM = ON

গ. প্রমাণ কর যে , M , N , P বিন্দু তিনটি সমবৃত্ত ।


১৮. ABCD একটি চতর্ভুজ যার ∠ABC + ∠ADC = 180° 

ক. প্রমাণ করে যে , ত্রিভুজের দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর

খ. প্রমাণ কর যে , A , B , C , D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত ।

গ. AC রেখা ∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক হলে , প্রমাণ কর যে , BC = DC


১৯. △PQR এ Q ও R এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় S বিন্দুতে এবং বহির্খন্ডকদ্বয় T বিন্দুতে মিলিত হয়েছে ।

ক. প্রমাণ কর যে , বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা ।

খ. প্রমাণ কর যে  , QSR = `90^\circ+\frac1{2}\angle P`

গ. প্রমাণ কর যে , Q , S , R , T চারটি সমবৃত্ত ।

অফলাইনে অনুশীলনের জন্য ব্যবহারিক জ্যামিতি : উপপাদ্য অংশের সৃজনশীল - PDF ডাউনলোড করতে পারো  এছাড়াও নিচের ব্যবহারিক জ্যামিতি : উপপাদ্য অংশের সৃজনশীল  ছবিগুলো ডাউনলোড করে নিতে পারো । 

উপপাদ্য

উপপাদ্য

উপপাদ্য

উপপাদ্য

উপপাদ্য

উপপাদ্য

উপপাদ্য

উপপাদ্য
Theorem

উপপাদ্য
Theorem

উপপাদ্য
Theorem

আশা করি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধু এবং সহপাঠীদের সাথে শেয়ার করে তাদেরকেও জনার সুযোগ করে দিবে ।  উপপাদ্য সৃজনশীল : ব্যবহারিক জ্যামিতি । সৃজনশীল প্রশ্নগুলোর উত্তর প্রয়োজন হলে অবশ্যই কমেন্টের মাধ্যমে জানাবে ।
আরো পড়তে পারো
জুয়েল

দেওয়ার মতো কোনো পরিচয় নেই। অনার্স শেষ করে আপাতত বাংলাদেশ বেকার কোম্পানির ম্যানেজার হিসেবে মশা-মাছি তাড়াচ্ছি। তবে স্বপ্ন আছে অন্বেষা.নেট - কে শ্রেষ্ঠ শিক্ষা বিষয়ক বাংলা ব্লগে পরিণত করা এবং শিক্ষার্থীদের মেধাকে বাজারের নিম্নমানের নোট গাইড থেকে রক্ষা করা।

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

নবীনতর পূর্বতন