সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল
 |
| সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল |
সসীম ধারা ( Finite Series ) কাকে বলে
যদি কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায় তবে এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেট কে অনুক্রম ( Sequence ) বলে ।
যদি কোন অনুক্রমের পদগুলো পরপর + চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করে প্রকাশ করা হয় তবে তাকে ধারা ( Series ) বলে । যেমন: 1+3+5+7+... একটি ধারা ।
যদি কোন ধারা পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট হয় তবে তাকে সসীম ধারা ( Finite Series ) বলে ।
যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য । অসংখ্য ধারার মধ্যে দুইটি গুরুত্বপূর্ণ ধারা হলো সমান্তর ধারা এবং গুণোত্তর ধারা ।
আরো জানতে পারো :
প্রয়োজনীয় বীজগণিতের সূত্র সমূহ
নবম - দশম শ্রেণির গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন
সমান্তর ধারা ( Arithmetic Series ) কাকে বলে ?
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে , সেই ধারাকে সমান্তর ধারা বলে । যেমন : 1+3+5+7+11 একটি সমান্তর ধারা ।
সমান্তর ধারার সূত্র
সমান্ত ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d হলে
সমান্ত ধারার n তম পদ = a+(n-1)d
সমান্ত ধারার n সংখ্যক পদের সমস্টি `S_n=\frac n2\{2a+(n-1)d\}`
গুণোত্ত ধারা ( Geometric Series ) কাকে বলে ?
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থ্যাৎ যোকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয় তবে তাকে গুণোত্ত ধারা ( Geometric Series ) বলে ।
গুণোত্তর ধারার সূত্র
গুণোত্তর ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r হলে
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = `ar^{n-1}`
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমস্টি `S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}`
আরো জানতে পারো
এছাড়াও আরো কিছু প্রয়োজনীয় সসীম ধারা সূত্র
স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = `\frac{n(n+1)}2`
বর্গের সমষ্টি = `\frac{n(n+1)(2n+1)}6`
ঘনের সমষ্টি = `{\frac{n(n+1)}2\}^2`
আরো জানতে পারো :
সসীম ধারা সৃজনশীল
1. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ `\frac{1}{2}` এবং সপ্তম পদ `\frac1{128}` । কোনো সমান্তর ধারার প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি 35 এবং প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি 120 ।
ক. log2+log16+log512........ ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
খ. গণোত্তর ধারার 7 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
গ. সমান্তর ধারাটির 20 তম পদ নির্ণয় কর ।
2. একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 89 এবং 21 তম পদ 125 অপর একটি গুণোত্তর ধারা `-\frac1{2}+x+y+z-2+.....`
ক. n সংখ্যক স্বাভাবিক ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
খ. সমান্তর ধারাটির 25 টি পদের সমষ্টি কত ?
গ. গুণোত্তর ধারাটির x , y , z এর মান নির্ণয় কর ।
3. একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ `\frac{\sqrt2}3` এবং সপ্তম পদ `\frac4{9\sqrt3}` । অন্য একটি সমান্তর ধারার p তম পদ q এবং q তম পদ p ।
ক. 125 + 25 + 5 + ............ ধারাটির কোন পদ `\frac1{125}` ?
খ. সমান্তর ধারাটির ( p+q ) তম পদ নির্ণয় কর ।
গ. গুণোত্তর ধারাটির n তম পদের সমষ্টি `\frac{19}{18}(\sqrt3+\sqrt2)` হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
4. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ `\frac1{\sqrt2}` এবং নবম পদ `8\sqrt2` । অন্য একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 ।
ক. 2 - 5 - 12 - 19 ......... ধারাটির কোন পদ -75 ?
খ. গুণোত্তর ধারাটির প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি কত ?
গ. সমান্তর ধারাটির কোন পদ 14 ?
5. `(1) \frac1{\sqrt2}-1+\sqrt2-.......` একটি ধারা
(2) 6 + x + y + z + 96 ....... েকটি গুণোত্তরধারা
ক. n সংখ্যক ঘনের সমষ্টি 225 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
খ. (1) নং ধারাটির পদের n সংখ্যক সমষ্টি `\frac{63\sqrt2-62}2` হলে n এর মান নির্ণয় কর।
গ. (2) নং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 3066 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
6. একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ `\frac{2\sqrt3}9` এবং দশম পদ `\frac{8\sqrt2}{81}`।
ক. `\frac1{\sqrt2}-1+\sqrt2-.......` ধারাটির প্রথম 11 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
খ. গুণোত্তর ধারাটির কোন পদ `frac{4\sqrt3}{27}` ?
গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি `\frac{195}{162(\sqrt3-\sqrt2)}` হলে n এর মান নির্ণয় কর।
7. একটি গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ a সাধারণ অনুপাত r চতুর্থ পদ -2 এবং নবম পদ `8\sqrt2`
ক. 27 + 9 + 3 .......... ধারাটির প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
খ. উদ্দীপকের ধারাটির কোন পদ -32 ?
গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল `\frac1{2}(15\sqrt2-14)` হলে n এর মান নির্ণয় কর।
8. `\frac1{\sqrt2}-1+\sqrt2-.......`
ক. কোনো ধারার 12 তম পদ 77 হলে এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত ?
খ. ধারাটির কোন পদ `8\sqrt2` ?
গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল `\frac{15\sqrt2-14}2`
9. (i) 3+a+9+........60 একটি সমান্তর ধারা
(ii) x+27+y+z+243 একটি গুণোত্তর ধারা
ক. a এর মান নির্ণয় কর।
খ. (i) ধারাটির সমষ্টি কত?
গ. (ii) ধারাটি হতে x, y, z এর মান নির্ণয় কর।
অফলাইনে অনুশীলনের জন্য সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল - PDF ডাউনলোড করতে পারো এছাড়াও নিচের সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল ছবিগুলো ডাউনলোড করে নিতে পারো ।
আরো জানতে পারো :
