সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল ( ১৩.১ ও ১৩.২ )

সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল 

সসীম ধারা এস এস সি পরীক্ষার্থীদের জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ । এ ক্ষেত্রে ধারাটিকে প্রথমে চিনতে পারা জরুরী । এর পর সে অনুসারে সমান্তর ধারার সূত্র এবং গুণোত্তর ধারার সূত্র প্রয়োগ করে সসীম ধারা সৃজনশীল করতে হবে । তবে অনেক সময় সসীম ধারার উদ্দীপকগুলোকে বাস্তব জগতের বিভিন্ন বস্তুর সাথে তুলনা করে তৈরি করা হয় । সেক্ষেত্রে প্রদত্ত উদ্দীপকটি বারবার পড়তে হবে এবং তাকে সসীম  ধারার সূত্রের সাথে তুলনা করে সমাধান করার চেষ্টা করতে হবে ।

সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল
সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল

সসীম ধারা ( Finite Series ) কাকে বলে 

যদি কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায় তবে এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেট কে অনুক্রম ( Sequence ) বলে । 

যদি কোন অনুক্রমের পদগুলো পরপর + চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করে প্রকাশ করা হয় তবে তাকে ধারা ( Series ) বলে । যেমন: 1+3+5+7+... একটি ধারা । 

যদি কোন ধারা পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট হয় তবে তাকে  সসীম ধারা ( Finite Series ) বলে ।

যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য । অসংখ্য ধারার মধ্যে দুইটি গুরুত্বপূর্ণ ধারা হলো সমান্তর ধারা এবং গুণোত্তর ধারা । 

আরো জানতে পারো :

প্রয়োজনীয় বীজগণিতের সূত্র সমূহ

নবম - দশম শ্রেণির গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন

সমান্তর ধারা ( Arithmetic Series ) কাকে বলে ?

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে , সেই ধারাকে সমান্তর ধারা বলে । যেমন : 1+3+5+7+11 একটি সমান্তর ধারা । 

সমান্তর ধারার সূত্র

সমান্ত ধারার,

প্রথম পদ = a

সাধারণ অন্তর = d হলে 

সমান্ত ধারার n তম পদ = a+(n-1)d

সমান্ত ধারার n সংখ্যক পদের সমস্টি `S_n=\frac n2\{2a+(n-1)d\}`

গুণোত্ত ধারা ( Geometric Series ) কাকে বলে ?

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থ্যাৎ যোকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে  ভাগফল সব সময় সমান হয় তবে তাকে  গুণোত্ত ধারা ( Geometric Series ) বলে । 

গুণোত্তর ধারার সূত্র

গুণোত্তর ধারার,

প্রথম পদ =  a

সাধারণ অনুপাত = r হলে

গুণোত্তর ধারার n তম পদ = `ar^{n-1}`

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমস্টি `S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}`

আরো জানতে পারো

এছাড়াও আরো কিছু  প্রয়োজনীয় সসীম ধারা সূত্র

স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = `\frac{n(n+1)}2`

বর্গের সমষ্টি = `\frac{n(n+1)(2n+1)}6`

ঘনের সমষ্টি = `{\frac{n(n+1)}2\}^2`

আরো জানতে পারো :

সসীম ধারা সৃজনশীল

1. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ `\frac{1}{2}` এবং সপ্তম পদ `\frac1{128}` । কোনো সমান্তর ধারার প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি 35 এবং প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি 120 ।

ক. log2+log16+log512........ ধারাটির  12 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

খ. গণোত্তর ধারার 7 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

গ. সমান্তর ধারাটির 20 তম পদ নির্ণয় কর ।


2. একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 89 এবং 21 তম পদ 125 অপর একটি গুণোত্তর ধারা `-\frac1{2}+x+y+z-2+.....` 

ক. n সংখ্যক স্বাভাবিক ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।

খ. সমান্তর ধারাটির 25 টি পদের সমষ্টি কত ?

গ. গুণোত্তর ধারাটির x , y , z এর মান নির্ণয় কর ।


3. একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ `\frac{\sqrt2}3` এবং সপ্তম পদ `\frac4{9\sqrt3}` । অন্য একটি সমান্তর ধারার p তম পদ q এবং q তম পদ p । 

ক. 125 + 25 + 5 + ............ ধারাটির কোন পদ `\frac1{125}` ?

খ. সমান্তর ধারাটির ( p+q ) তম পদ নির্ণয় কর ।

গ. গুণোত্তর ধারাটির n  তম পদের সমষ্টি `\frac{19}{18}(\sqrt3+\sqrt2)` হলে n এর মান নির্ণয় কর । 


4. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ `\frac1{\sqrt2}` এবং নবম পদ `8\sqrt2` । অন্য একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 ।

ক. 2 - 5 - 12 - 19 ......... ধারাটির কোন পদ -75 ?

খ. গুণোত্তর ধারাটির প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি কত ?

গ. সমান্তর ধারাটির কোন পদ 14 ?


5. `(1) \frac1{\sqrt2}-1+\sqrt2-.......` একটি ধারা

(2)  6 + x + y + z + 96 ....... েকটি গুণোত্তরধারা

ক.  n সংখ্যক ঘনের সমষ্টি 225 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।

খ. (1) নং ধারাটির পদের n সংখ্যক সমষ্টি `\frac{63\sqrt2-62}2` হলে  n এর মান নির্ণয় কর ।

গ. (2) নং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 3066 হলে  n এর মান নির্ণয় কর । 


6. একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ `\frac{2\sqrt3}9` এবং দশম পদ `\frac{8\sqrt2}{81}` ।

ক. `\frac1{\sqrt2}-1+\sqrt2-.......` ধারাটির প্রথম 11 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

খ. গুণোত্তর ধারাটির কোন পদ `frac{4\sqrt3}{27}` ?

গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি `\frac{195}{162(\sqrt3-\sqrt2)}` হলে  n এর মান নির্ণয় কর। 


7. একটি গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ  a সাধারণ অনুপাত  r চতুর্থ পদ -2  এবং নবম পদ `8\sqrt2`

ক. 27 + 9 + 3 .......... ধারাটির প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

খ. উদ্দীপকের ধারাটির কোন পদ -32 ?

গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল `\frac1{2}(15\sqrt2-14)` হলে  n এর মান নির্ণয় কর । 


8. `\frac1{\sqrt2}-1+\sqrt2-.......` 

ক. কোনো ধারার 12 তম পদ 77 হলে এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত ?

খ. ধারাটির কোন পদ `8\sqrt2` ?

গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল `\frac{15\sqrt2-14}2`

অফলাইনে অনুশীলনের জন্য সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল - PDF ডাউনলোড করতে পারো  এছাড়াও নিচের সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল  ছবিগুলো ডাউনলোড করে নিতে পারো । 

আরো জানতে পারো :

সমান্তর ধারার সূত্র
সমান্তর ধারার সূত্র
সমান্তর ধারার সূত্র

সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল

সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল
সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল
সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল

সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল

সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল

সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল


সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল
আশা করি ভালো লাগলে অবশ্যই বন্ধু এবং সহপাঠীদের সাথে শেয়ার করে তাদেরকেও জনার সুযোগ করে দিবে । সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল । সৃজনশীল প্রশ্নগুলোর উত্তর প্রয়োজন হলে অবশ্যই কমেন্টের মাধ্যমে জানাবে ।

আরো পড়তে পারো




একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

নবীনতর পূর্বতন