সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল
 |
| সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল |
সসীম ধারা ( Finite Series ) কাকে বলে
যদি কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায় তবে এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেট কে অনুক্রম ( Sequence ) বলে ।
যদি কোন অনুক্রমের পদগুলো পরপর + চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করে প্রকাশ করা হয় তবে তাকে ধারা ( Series ) বলে । যেমন: 1+3+5+7+... একটি ধারা ।
যদি কোন ধারা পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট হয় তবে তাকে সসীম ধারা ( Finite Series ) বলে ।
যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য । অসংখ্য ধারার মধ্যে দুইটি গুরুত্বপূর্ণ ধারা হলো সমান্তর ধারা এবং গুণোত্তর ধারা ।
আরো জানতে পারো :
প্রয়োজনীয় বীজগণিতের সূত্র সমূহ
নবম - দশম শ্রেণির গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন
সমান্তর ধারা ( Arithmetic Series ) কাকে বলে ?
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে , সেই ধারাকে সমান্তর ধারা বলে । যেমন : 1+3+5+7+11 একটি সমান্তর ধারা ।
সমান্তর ধারার সূত্র
সমান্ত ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d হলে
সমান্ত ধারার n তম পদ = a+(n-1)d
সমান্ত ধারার n সংখ্যক পদের সমস্টি Sn=n2{2a+(n-1)d}
গুণোত্ত ধারা ( Geometric Series ) কাকে বলে ?
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থ্যাৎ যোকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয় তবে তাকে গুণোত্ত ধারা ( Geometric Series ) বলে ।
গুণোত্তর ধারার সূত্র
গুণোত্তর ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r হলে
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arn-1
গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমস্টি Sn=a(1-rn)1-r
আরো জানতে পারো
এছাড়াও আরো কিছু প্রয়োজনীয় সসীম ধারা সূত্র
স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)2
বর্গের সমষ্টি = n(n+1)(2n+1)6
ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)2}2
আরো জানতে পারো :
সসীম ধারা সৃজনশীল
1. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 12 এবং সপ্তম পদ 1128 । কোনো সমান্তর ধারার প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি 35 এবং প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি 120 ।
ক. log2+log16+log512........ ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
খ. গণোত্তর ধারার 7 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
গ. সমান্তর ধারাটির 20 তম পদ নির্ণয় কর ।
2. একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 89 এবং 21 তম পদ 125 অপর একটি গুণোত্তর ধারা -12+x+y+z-2+.....
ক. n সংখ্যক স্বাভাবিক ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
খ. সমান্তর ধারাটির 25 টি পদের সমষ্টি কত ?
গ. গুণোত্তর ধারাটির x , y , z এর মান নির্ণয় কর ।
3. একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ √23 এবং সপ্তম পদ 49√3 । অন্য একটি সমান্তর ধারার p তম পদ q এবং q তম পদ p ।
ক. 125 + 25 + 5 + ............ ধারাটির কোন পদ 1125 ?
খ. সমান্তর ধারাটির ( p+q ) তম পদ নির্ণয় কর ।
গ. গুণোত্তর ধারাটির n তম পদের সমষ্টি 1918(√3+√2) হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
4. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 1√2 এবং নবম পদ 8√2 । অন্য একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 ।
ক. 2 - 5 - 12 - 19 ......... ধারাটির কোন পদ -75 ?
খ. গুণোত্তর ধারাটির প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি কত ?
গ. সমান্তর ধারাটির কোন পদ 14 ?
5. (1)1√2-1+√2-....... একটি ধারা
(2) 6 + x + y + z + 96 ....... েকটি গুণোত্তরধারা
ক. n সংখ্যক ঘনের সমষ্টি 225 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
খ. (1) নং ধারাটির পদের n সংখ্যক সমষ্টি 63√2-622 হলে n এর মান নির্ণয় কর।
গ. (2) নং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 3066 হলে n এর মান নির্ণয় কর ।
6. একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 2√39 এবং দশম পদ 8√281।
ক. 1√2-1+√2-....... ধারাটির প্রথম 11 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
খ. গুণোত্তর ধারাটির কোন পদ 4√327 ?
গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 195162(√3-√2) হলে n এর মান নির্ণয় কর।
7. একটি গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ a সাধারণ অনুপাত r চতুর্থ পদ -2 এবং নবম পদ 8√2
ক. 27 + 9 + 3 .......... ধারাটির প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।
খ. উদ্দীপকের ধারাটির কোন পদ -32 ?
গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল 12(15√2-14) হলে n এর মান নির্ণয় কর।
8. 1√2-1+√2-.......
ক. কোনো ধারার 12 তম পদ 77 হলে এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত ?
খ. ধারাটির কোন পদ 8√2 ?
গ. ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল 15√2-142
9. (i) 3+a+9+........60 একটি সমান্তর ধারা
(ii) x+27+y+z+243 একটি গুণোত্তর ধারা
ক. a এর মান নির্ণয় কর।
খ. (i) ধারাটির সমষ্টি কত?
গ. (ii) ধারাটি হতে x, y, z এর মান নির্ণয় কর।
অফলাইনে অনুশীলনের জন্য সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল - PDF ডাউনলোড করতে পারো এছাড়াও নিচের সমান্তর ধারার সূত্র এবং সসীম ধারা সৃজনশীল ছবিগুলো ডাউনলোড করে নিতে পারো ।
আরো জানতে পারো :
গণিতের সমাধান কোথায় পাবো?
উত্তরমুছুন